Seminario de Topología
"Rafael Isaacs"

Mayo 27 de 2024 (Sesión 408) El Teorema de Goodstein En 1944 Reuben Louis Goodstein definió para cada natural $n$ una sucesión $(n)_k$ de la siguiente manera: a. $(n)_1$ es $n$ escrito en su representación completa base $2$. b. $(n)_2$ es el número que se obtiene sustituyendo en $(n)_1$ cada $2$ por un $3$ y después se le resta $1$. c. $(n)_3$ es el número que se obtiene sustituyendo en $(n)_2$ cada $3$ por un $4$ y después se le resta $1$. d. Se continua recursivamente. Veamos un ejemplo, tomemos $n=21$ y obtenemos la sucesión. a. $(21)_1=21=2^{2^2}+2^2+1$ b. $(21)_2=3^{3^3}+3^3+1-1\sim 7.6\times 10^{12}$ c. $(21)_3=4^{4^4}+4^4 -1=4^{4^4}+4^3\cdot 3 + 4^2\cdot 3 + 4\cdot 3 +3\sim 1.3\times 10^{154}$ d. $(21)_4=5^{5^5}+5^3\cdot 3+5^2\cdot 3+5\cdot 3+2\sim 1.9\times 10^{2184}$ $\vdots$ Goodstein probó que, sin importar el número inicial $n\in\mathbb{N}$, siempre existirá un número $k$ tal que $(n)_k=0$. Este resultado es conocido como el teorema de Goodstein y pe...

Mayo 20 de 2024 (Sesión 407) Del problema 17 de Hilbert a la optimización semidefinida Partiendo del 17avo problema planteado por David Hilbert al comienzo del siglo XX, mostraré algunas de las aplicaciones matemáticas que este problema ha inspirado en las últimas décadas. Mencionaré brevemente algunas de las aplicaciones en probabilidad, sistemas dinámicos y teoría de control, estadística y machine learning, teoría de juegos, y ciencia computacional teórica. Profundizaré en las aplicaciones en teoría de grafos. Expositor: José Acevedo

Mayo 6 de 2024 (Sesión 406) Desarrollo histórico del Teorema del valor medio para derivadas y algunas aplicaciones En esta charla inicialmente mostraremos los trabajos de algunos matemáticos que intentaron trabajar con el teorema del valor medio de Lagrange que conocemos hoy en día en los cursos de cálculo. Después veremos algunas aplicaciones muy conocidas en los cursos de análisis matemático acerca de este valioso teorema, el cual muchos matemáticos consideran no menos importante que el teorema fundamental del cálculo. Bibliografía 1. Smoryński, C. (2017). MVT: A Most Valuable Theorem. New York, NY, USA: Springer. 2. Apostol, T. M. (1991). Calculus, Volume 1. John Wiley & Sons. Expositor: Sergio Andrés Pérez León. Universidad Industrial de Santander. Escuela de Matemáticas.