Sesión 408 (El teorema de Goodstein)

Mayo 27 de 2024 (Sesión 408)

El Teorema de Goodstein

En 1944 Reuben Louis Goodstein definió para cada natural $n$ una sucesión $(n)_k$ de la siguiente manera:

a. $(n)_1$ es $n$ escrito en su representación completa base $2$.

b. $(n)_2$ es el número que se obtiene sustituyendo en $(n)_1$ cada $2$ por un $3$ y después se le resta $1$.

c. $(n)_3$ es el número que se obtiene sustituyendo en $(n)_2$ cada $3$ por un $4$ y después se le resta $1$.

d. Se continua recursivamente.

Veamos un ejemplo, tomemos $n=21$ y obtenemos la sucesión.

a. $(21)_1=21=2^{2^2}+2^2+1$

b. $(21)_2=3^{3^3}+3^3+1-1\sim 7.6\times 10^{12}$

c. $(21)_3=4^{4^4}+4^4 -1=4^{4^4}+4^3\cdot 3 + 4^2\cdot 3 + 4\cdot 3 +3\sim 1.3\times 10^{154}$

d. $(21)_4=5^{5^5}+5^3\cdot 3+5^2\cdot 3+5\cdot 3+2\sim 1.9\times 10^{2184}$

$\vdots$

Goodstein probó que, sin importar el número inicial $n\in\mathbb{N}$, siempre existirá un número $k$ tal que $(n)_k=0$. Este resultado es conocido como el teorema de Goodstein y permite definir la función $\mathcal{G}(n)$ como el menor $k$ tal que $(n)_k=0$ para cada $n$ natural. Esta función se llama la función de Goodstein. El argumento consiste en asociarle un ordinal $\alpha_k$ a cada término $(n)_k$ de la sucesión de Goodstein de tal manera que la sucesión de ordinales sea decreciente y por el buen ordenamiento llegue a cero. La importancia del teorema de Goodstein en parte se debe a que ese teorema no es demostrable en la aritmética de Peano (PA). Más precisamente, PA no demuestra que $\mathcal{G}$ es total.

Bibliografía

1. Hrbacek, K., y Jech, T. (1999). Introduction to Set Theory, Revised and Expanded (3rd ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9781315274096

2. Caicedo, A. (2007). Goodstein’s function. Revista Colombiana de Matemáticas, 41(2), 381-391.

Expositor: Jamir Castellanos