Sesión 440 (Sobre la complejidad de la relación de conjugación topológica en sistemas dinámicos)

Agosto 11 de 2025 (Sesión 440)

Sobre la complejidad de la relación de conjugación topológica en sistemas dinámicos.

Un sistema dinámico es un par $(X,f)$ donde $X$ (llamado espacio de fase) es un espacio métrico compacto y $f: X \to X$ continua.

Decimos que dos sistemas dinámicos $(X,f)$ y $(X,g)$ son (topológicamente) conjugados, si existe un homeomorfismo $\varphi$, tal que $\varphi circ f = g \circ \varphi$. La conjugación topológica genera una relación de equivalencia sobre $C(X,X)$, el espacio de las funciones continuas de $X$ en si mismo.

Preguntas naturales que surgen acerca de esta relación están: ¿Cuántas clases de equivalencia existen? ¿La relación de conjugación, vista como subconjunto de $C(X,X)^2$, es boreliana?

La Teoría Descriptiva de Conjuntos proporciona herramientas para estudiar y clasificar relaciones de equivalencia definidas sobre espacios polacos (espacios completamente metrizable y segundo numerables). La noción central en esta clasificación es la reducibilidad boreliana.

Dados dos espacios polacos $X$ y $Y$ y dos relaciones de equivalencia $E$ y $F$ sobre $X$ y $Y$ respectivamente. Decimos que $E$ es Borel reducible a $F$ si existe una función boreliana (esto es, la preimagen de cualquier abierto es boreliano) $f: X \to Y$, tal que \[ xEy \iff f(x) F f(y). \] En este sentido, diremos que $E$ es, a lo sumo, tan compleja como $F$.

En este charla discutiremos algunos resultados relacionados a la complejidad de la relación de conjugación de sistemas dinámicos para distintos espacios de fase.

Además, también presentaremos resultados acerca de la relación de conjugación restringida a la subclase de funciones continuas que admiten una órbita densa, es decir, funciones $f$ tales que existe un punto $z \in X$ tal que el conjunto \[ \{ f^n(z) : n \in \mathbb{N} \}, \] es denso en $X$.

Expositor: Jhon Fredy Pérez

Universidad Industrial de Santander.

Escuela de Matemáticas.

Presentación.