Seminario de Topología
"Rafael Isaacs"

Diciembre 2 de 2024 (Sesión 422) Teorema de la Aplicación de Riemann. En 1851, Riemann afirmó en la defensa de su tesis lo siguiente: “Toda región simplemente conexa del plano complejo, distinta del plano completo, puede ser transformada conformemente en un disco”. En nuestros días, este resultado es conocido como el Teorema de la Aplicación de Riemann y marcó un hito en la teoría de funciones de variable compleja. La primera prueba de este resultado se debe al matemático americano W. Osgood en el año 1900. Posteriormente, en el año 1914, el matemático alemán Paul Kobe desarrolló una versión moderna de la prueba, que es la base de nuestra exposición. En esta sesión, presentaremos una pequeña variante de la prueba de Koebe y finalizaremos enunciando la generalización de este resultado a superficies de Riemann, conocida como Teorema de Uniformización. Expositor: Jhan Hernandez. Universidad Industrial de Santander. Escuela de Matemáticas.

Noviembre 25 de 2024 (Sesión 421) Dinámica holomorfa: el conjunto de Mandelbrot. Dado el plano complejo extendido $\hat{\mathbb{C}}$ y la función cuadrática holomorfa $f_c(z) = z^2 + c$, donde \(c \in \mathbb{C}\) es un parámetro fijo, definiremos el conjunto de Mandelbrot. A partir de esta definición, exploraremos algunas de sus caracterizaciones, presentaremos ejemplos ilustrativos y describiremos su construcción detallada. Expositora: Yineth Amorocho. Universidad Industrial de Santander. Escuela de Matemáticas.

Noviembre 18 de 2024 (Sesión 420) Curvas que llenan el espacio. En 1878, Georg Cantor demostró la existencia de una biyección entre el intervalo $[0,1]$ y el cuadrado unitario $[0,1]^2$. Este resultado sorprendió a los matemáticos de la época, ya que desafiaba la intuición geométrica de que un intervalo unidimensional y una región bidimensional no podían tener la misma ``cantidad’’ de puntos. A raíz de esta demostración, surgió el interés en investigar las propiedades de continuidad de tales funciones, concluyéndose que una biyección entre $[0,1]$ y $[0,1]^2$ no puede ser continua. La cuestión de si era posible una función continua y sobreyectiva de $[0,1]$ en $[0,1]^2$ motivó posteriores investigaciones. En 1890, Giuseppe Peano publicó la primera construcción de una función continua y sobreyectiva de $[0,1]$ sobre el cuadrado unitario, hoy conocida como la curva de Peano. Posteriormente, David Hilbert desarrolló la conocida curva de Hilbert, la cual sirvió como ejemplo par...