Noviembre 18 de 2024 (Sesión 420)
Curvas que llenan el espacio.
En 1878, Georg Cantor demostró la existencia de una biyección entre el
intervalo $[0,1]$ y el cuadrado unitario $[0,1]^2$. Este resultado sorprendió a los
matemáticos de la época, ya que desafiaba la intuición geométrica de que un
intervalo unidimensional y una región bidimensional no podían tener la misma
``cantidad’’ de puntos. A raíz de esta demostración, surgió el interés en investigar
las propiedades de continuidad de tales funciones, concluyéndose que una
biyección entre $[0,1]$ y $[0,1]^2$ no puede ser continua.
La cuestión de si era posible una función continua y sobreyectiva de $[0,1]$ en
$[0,1]^2$ motivó posteriores investigaciones. En 1890, Giuseppe Peano publicó la
primera construcción de una función continua y sobreyectiva de $[0,1]$ sobre el
cuadrado unitario, hoy conocida como la curva de Peano. Posteriormente, David
Hilbert desarrolló la conocida curva de Hilbert, la cual sirvió como ejemplo para
la construcción de posteriores curvas que llenan el espacio, debido a lo intuitiva
que resultaba su construcción iterativa.
En esta exposición, se presentará una función continua y sobreyectiva de $[0,1]$
en $[0,1]^2$, definida a partir de una serie infinita, tomada del libro Mathematical
Analysis de Tom M. Apostol. Además, se mostrará un código que grafica las
aproximaciones de esta función mediante sumas finitas.
Expositor: Camilo Andrés Acevedo Ardila.
Universidad Industrial de Santander.
Escuela de Matemáticas.
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