Sesión 456 (Grupos Fundamentales y el Teorema de Seifert–van Kampen)

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Abril 13 de 2026 (Sesión 456) Grupos Fundamentales y el Teorema de Seifert–van Kampen La Topología Algebraica es una rama de las matemáticas encargada de estudiar invariantes topológicos que no pueden ser detectados mediante la topología clásica. En esencia, esta disciplina busca abordar problemas en la categoría de espacios topológicos, Top, trasladándolos, a través de un funtor $F$, a otra categoría cuyos objetos poseen estructura algebraica, como grupos, anillos, módulos, espacios vectoriales, etc. Uno de los principales ejemplos de este enfoque es el grupo fundamental, el cual es un funtor que asigna a cada espacio topológico un grupo (no necesariamente abeliano) que constituye un invariante topológico, es decir, que se preserva bajo homeomorfismos. Este objeto es central en la teoría de homotopía, ya que permite detectar y clasificar ciertas formas de deformación continua en los espacios topológicos. Por su parte, el teorema de Seifert–van Kampen es una valiosa herramient...
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Sesión 349 (Grupos topológicos: Métricas invariantes a izquierda y el Teorema de Birkhoff-Kakutani.)

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Julio 18 de 2022 (Sesión 349)

Grupos topológicos: Métricas invariantes a izquierda y el Teoremade Birkhoff-Kakutani.

El Teorema de metrización de Urysohn muestra que un espacio topológico es metrizable si es T1, regular y 2-numerable. En contraste, en grupos topológicos, al interactuar la estructura algebraica, el Teorema de Birkhoff-Kakutani muestra que solo necesitaremos que el grupo sea Hausdorff y 1-numerable para que sea metrizable. Además de resolver el problema de la metrizabilidad en grupos topológicos, el Teorema de Birkhoff-Kakutani muestra que la métrica compatible que se construye posee una propiedad algebraica, llamada invarianza a izquierda, que se refiere a que la distancia entre los elementos del grupo no se modifica por traslaciones a izquierda. Los grupos Polacos (grupos topológicos separables y completamente metrizables) son grupos topológicos en los que el Teorema de Birkhoff- Kakutani muestra que existe una métrica invariante a izquierda. 

El objetivo principal de la charla es dar una demostración para el Teorema de Birkhoff-Kakutani. En la charla también daremos algunos ejemplos de grupos Polacos, verificaremos si las métricas "usuales" de algunos grupos Polacos conocidos son invariantes a izquierda y se hablará sobre algunos resultados que muestran cuándo es posible (y cuándo no) encontrar métricas compatibles e invariantes a izquierda.

Expositor: Juan David Franco Salazar.

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