Sesión 359 (Funciones entre continuos que preservan conexidad)

Octubre 31 de 2022 (Sesión 359)

Funciones entre continuos que preservan conexidad

Cuando hacemos una investigación en topología es indispensable e indiscutible el estudio de funciones continuas. Además, en muchas ocasiones, usamos funciones continuas con condiciones adicionales para obtener o preservar alguna propiedad de nuestro interés. 

Uno de los teoremas más importantes en topología que involucra las funciones continuas es el Teorema del punto fijo de Brouwer. Este teorema nos dice que si tenemos una función continua sobre una n-celda, entonces existe un punto que es igual a su imagen. En 1959, Stalling muestra una clase de funciones que no son necesariamente continuas que satisfacen el teorema de Brouwer. Esta clase de funciones Stalling las llamó funciones de conectividad. 

El resultado de Stalling motivó a definir otras clases de funciones estrictamente más amplias que la clase de funciones continuas como: funciones de Darboux, funciones conexas, funciones de conectividad local y funciones casicontinuas. Estas clases de funciones definidas por diversos autores han sido objeto de estudio en muchas investigaciones (ver , [1], [2], [3], [5], [6] y [7]). 

Un problema que, a raíz del teorema de Stalling, es muy interesante, es el de encontrar condiciones sobre los espacios para que alguna de las funciones mencionadas anteriormente sea de conectividad. 

El propósito de esta charla es estudiar estas clases de funciones, mostrando implicaciones con condiciones sobre los espacios, dando ejemplos cuando alguna implicación no sea satisfecha e investigando propiedades que satisfacen las funciones continuas que puedan ser preservadas por alguna de estas familias de funciones. 

Referencias: 

[1] J. Stallings, Fixed point theorems for connectivity maps, Fund. Math., 47, (1959), 249-263. 

[2] S. B. Nadler Jr., Continua on which all real-valued connected functions are connectivity functions, Topology Proc., 28 (2004), 229-239. 

[3] S. B. Nadler Jr., Local connectivity functions on arcwise connected spaces and certain continua, Topology Appl., 153 (2006), 1279-1290. 

[4] S. B. Nadler Jr., Continuum Theory, An Introduction, Pure and Applied Mathematics, Vol. 158, Marcel Dekker, New York 1992. 

[5] F. Jordan, Connectivity and almost continuous images of Im, Topology and its Appl., 153 (2006), 1759-1774. 

[6] B. D. Garrett, When almost continuity implies connectivity, Topology Proc., 13 (1988), 203-210. 

[7] K. R. Kellum and H. Rosen., Compositions of continuous functions and connected functions, Proc. Amer. Math. Soc., 115 (1992), 145-149. 

Expositor: Sergio Pérez.