Sesión 361 (Reconstrucción de coloraciones a partir de sus conjuntos homogéneos.)

Diciembre 5 de 2022 (Sesión 361)

Reconstrucción de coloraciones a partir de sus conjuntos homogéneos

Sea φ una coloración en dos colores de parejas de elementos de un conjunto X numerable. Esto es, una partición de X^[2] en dos partes. En [1], se define el problema de reconstrucción de coloraciones a partir de subconjuntos homogéneos. Este trabajo es una continuación de lo que se presenta en dicho artículo y respondemos a un par de preguntas formuladas allí. 

En primer lugar, se definen las coloraciones fuertemente reconstruibles y se demuestra que son una clase propia de las coloraciones reconstruibles. En segundo lugar, pero mucho más interesante está el contenido del capítulo 4 de este trabajo. Este capítulo está dedicado al estudio de la función definida en [1], 

r(φ) = {|A| ∶ A ≠ ∅, A induce una reconstrucción de φ}, 

la cual toma valores en N o א0. Si X es infinito, los únicos valores que puede tomar r(φ) son 1,4 y א0. La demostración de este teorema es el contenido principal de este trabajo de grado. Se establecen primero varios resultados preliminares donde se destaca el teorema que afirma que si φ: X^[2] → 2 es y X es infinito entonces si A contiene tres aristas formando un triángulo ({a, b},{b, c},{a, c} ∈ A) entonces |A| = א0. 

Bajo las condiciones del teorema principal, las coloraciones tales que r(φ) = 1 y r(φ) = 4, deben corresponder con las coloraciones que poseen ciertas subestructuras conocidas pares críticos y ciclos críticos, respectivamente.

Expositor: Diego Gamboa.