Febrero 27 de 2023 (Sesión 368)
Reflexividad y Secuencialidad Débilmente Completa en Espacios de Ideales de Operadores y Polinomios.
En el año 1927 el famoso matemático Austriaco Hans Hahn (1879−1934) introdujo el concepto de espacio normado reflexivo. Desde entonces muchos matemáticos se han visto atraídos
por sus propiedades, entre ellos encontramos los trabajos de Billy James Pettis, Shizuo Kakutani, William Frederick Eberlein, Witold Lwowitsch Smulian y Robert C. James, entre otros.
Los resultados más importantes que caracterizan los espacios reflexivos son los siguientes:
Teorema 0.1 (Pettis, 1938) Si X un espacio de Banach, entonces X es reflexivo si y sólo si X′
es reflexivo.
Teorema 0.2 (Kakutani (Conway, 1985, p.132)) Si X un espacio de Banach, entonces X es
reflexivo si y sólo si la bola unitaria cerrada de X es compacta en la topología débil.
Teorema 0.3 (Eberlein-Smulian (Diestel, 1984)) Si X un espacio de Banach, entonces X es
reflexivo si y sólo si toda sucesión acotada en X tiene una subsucesión débilmente convergente.
Teorema 0.4 (Teorema de James (James, 1964)) Si X un espacio de Banach, entonces X es
reflexivo si y sólo si todo funcional lineal continuo en X alcanza su máximo en la bola unitaria
cerrada de X.
Otro concepto que está muy relacionado con la reflexividad es el de espacio de Banach
secuencialmente débilmente completo. Es bien conocido que todo espacio de Banach reflexivo
es secuencialmente débilmente completo, sin embargo, el recíproco no es siempre cierto. Por
ejemplo, es sabido que ℓ
′
∞ es un espacio secuencialmente débilmente completo pero no es
reflexivo. Rosenthal (Rosenthal, 1974) estableció el siguiente teorema que relaciona los dos
conceptos.
Teorema 0.5 Si X es un espacio de Banach secuencialmente débilmente completo, entonces
X es reflexivo o contiene un subespacio isomorfo a ℓ1.
(Qingying Bu 2013) Probó el siguiente teorema que relacionan la propiedad de reflexividad
y la secuencialidad débilmente completa en el espacio de los operadores compactos.
Teorema 0.6 (Bu, 2013) Sean X y Y espacios de Banach reflexivos, entonces K(X; Y ) es
reflexivo si y sólo si es secuencialmente débilmente completo.
En esta charla se analizará el teorema anteriormente mencionado para ideales de operadores I, los cuales son más generales que los espacios de operadores compactos K.
Expositor: Sergio Pérez
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