Sesión 440 (Sobre la complejidad de la relación de conjugación topológica en sistemas dinámicos)

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Agosto 11 de 2025 (Sesión 440) Sobre la complejidad de la relación de conjugación topológica en sistemas dinámicos. Un sistema dinámico es un par $(X,f)$ donde $X$ (llamado espacio de fase) es un espacio métrico compacto y $f: X \to X$ continua. Decimos que dos sistemas dinámicos $(X,f)$ y $(X,g)$ son (topológicamente) conjugados, si existe un homeomorfismo $\varphi$, tal que $\varphi circ f = g \circ \varphi$. La conjugación topológica genera una relación de equivalencia sobre $C(X,X)$, el espacio de las funciones continuas de $X$ en si mismo. Preguntas naturales que surgen acerca de esta relación están: ¿Cuántas clases de equivalencia existen? ¿La relación de conjugación, vista como subconjunto de $C(X,X)^2$, es boreliana? La Teoría Descriptiva de Conjuntos proporciona herramientas para estudiar y clasificar relaciones de equivalencia definidas sobre espacios polacos (espacios completamente metrizable y segundo numerables). La noción central en esta clasificación es ...
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Sesión 369 (H(Q) no tiene topología de grupo polaco)

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Marzo 13 de 2023 (Sesión 368)

H(Q) no tiene topología de grupo polaco.

Sea A un álgebra de conjuntos y Aut(A) el grupo de automorfismos de A. Note que Aut(A) es subconjunto de A^A y Aut(A) puede dotarse de la topología de subespacio que resulta de poner en A^A la topología producto (viendo a A como un espacio discreto). En el artículo “On the non-existence of certain group topologies” de Christian Rosendal publicado en 2005, se muestra que si G es un subgrupo de Aut(A) y se pone en G una topología que lo hace grupo topológico Hausdorff y Baire y, se cumplen otras hipótesis adicionales, dicha topología sobre G debe extender a la topología producto en AA . 

Considerando A=CO(Q) (el conjunto de todos los clopen del espacio de racionales Q) y G=H(Q) (el grupo de homeomorfismos de Q en Q), en el artículo se muestra también que H(Q) no tiene topología de grupo polaco, pues si existiese una topología con esas características, debería extender a la topología producto y esto origina una contradicción con la separabilidad. 

El hecho de que H(Q) no tenga topología de grupo polaco guarda relación con algunas preguntas planteadas en la propuesta de tesis cuyo objetivo es entender aspectos sobre la estructura boreliana de los grupos de homeomorfismos de X en X, donde X es un espacio métrico y numerable. En la sesión se comentarán las conexiones entre este hecho y algunas de las preguntas del trabajo de investigación y se darán algunos detalles de la demostración del resultado. 

Referencias: 
[1] Rosendal, C., “On the non-existence of certain group topologies”, Fundamenta Mathematicae Vol 187, (2005) 213-228

Expositor: Juan David Franco Salazar

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