Sesión 373 (Sombreado en Sistemas Dinámicos Discretos)

Mayo 8 de 2023 (Sesión 373)

Sombreado en Sistemas Dinámicos Discretos.

Un sistema dinámico es un par $(X,f)$ donde $X$ es un espacio métrico y $f$ una función continua de $X$ en $X$. La órbita de un elemento $z\in X$, que denotaremos por $\mathcal{O}_f(z)$, surge del proceso iterativo de tomar primero a $z$ luego aplicarle $f$ a $z$, después aplicarle $f$ a $f(z)$ y así sucesivamente; es decir $\mathcal{O}_f(z)=(z, f(z), f(f(z)), \ldots).$ Podemos decir que el objetivo de un sistema dinámico es entender o describir, de alguna manera, el comportamiento de todas las órbitas del sistema. 

De particular relevancia en el estudio de un sistema dinámico es la noción de sombreado que definiremos a continuación. Dado un $\delta>0$, una $\delta$-pseudo-órbita es una sucesión de puntos $(x_1,x_2, \ldots)$ tal que la distancia entre $f(x_i)$ y $x_{i+1}$ es menor que $\delta$ para cada $i\in\mathbb{N}$. Se dice que una $\delta-$pseudo-órbita está $\varepsilon$-sombreada, si existe una órbita cuyos puntos siguen la $\delta-$pseudo-órbita dentro de una distancia de $\varepsilon$; esto es, existe $z\in X$ tal que $d(f^{n}(z),x_n)<\varepsilon$, para cada $n\in\mathbb{N}$, donde $f^n$ representa $f\circ \cdots\circ f$ $n$-veces. Así, diremos que la función $f\colon X\to X$ tiene la propiedad de sombreado si, para cada $\varepsilon>0$, existe un $\delta>0$ tal que toda $\delta-$pseudo-órbita está $\varepsilon$-sombreada.

En esta presentación, además de revisar sistemas dinámicos particulares como $(S^1,f)$ donde $f(z)=z^2$ y $([0,1],T)$ donde $T$ es la función tienda, se mostrarán algunos teoremas útiles para determinar cuando un sistema dinámico tiene sombreado o no. 

Expositor: Iohan Daniel Estupiñán Valbuena.