Sesión 375 (La topología compacta abierta en los grupos de homeomorfismos)

 Mayo 29 de 2023 (Sesión 375)

La topología compacta abierta en los grupos de homeomorfismos

Un grupo topológico es un grupo dotado de una topología de tal manera que las operaciones del grupo, multiplicación e inversión, son continuas. Sea H(X) el grupo de autohomeomorfismos de X. Sobre este grupo podemos definir la topología compacta abierta la cual es definida como sigue. Para A,B ⊆ X , establecemos 

⟨A;B⟩={f ∈H(X)|f(A)⊆B}. 

La topología compacta abierta es la topología generada por la subbase 

S={⟨K;V⟩|K⊆X es compacto y V ⊆X es abierto}. 

En 1942, Richard F. Arens demostró que si X es un espacio compacto de Hausdorff entonces H(X) es grupo topológico con la topología compacta abierta. Además es un resultado conocido que la topología uniforme coincide con la topología compacta abierta cuando X es métrico compacto. 

En esta charla daremos una demostración alternativa de que H(X) es un grupo topológico con la topología uniforme cuando X es métrico compacto. También se presentarán ejemplos concretos que muestran porqué no se usa la topología producto en el grupo H(X). Empezando con X = R^2 mostramos (tomado del libro [1]) que H(R^2) no es un grupo topológico con la topología producto, pues la función composición no resulta continua. En un principio, pensamos que algo similar ocurriría en [0, 1], pero no es así, pues H([0, 1]) es un grupo topológico con la topología producto, pues resulta ser igual a la topología uniforme. Este resultado no sabemos si era conocido en la literatura. Finalmente analizaremos el espacio de Cantor C. Siguiendo lo presentado en [2], mostraremos que si X = C \ {0}, entonces H(X) no es grupo topológico con la topología compacta abierta. Y por último, veremos que H(C) no es grupo topológico con la topología producto.

Referencias 

[1] Bourbaki, Nicolas. General topology. Springer-Verlag, Berlin, 1998. 1 

[2] Dijkstra, J. J. (2005). On Homeomorphism Groups and the Compact- Open Topology. The American Mathematical Monthly, 112(10), 910–912. https://doi.org/10.2307/30037630 

[3] Kramer, Linus. Locally Compact Groups and Lie groups. (Preliminary Ver- sion - May 19, 2020). 

Expositora: María Del Pilar Bautista Niño.