Sesión 376 (Topologías +-invariantes sobre Z)

Junio 5 de 2023 (Sesión 376)

Topologías +-invariantes sobre Z

Un espacio (X,τ) es homogéneo si, para cualesquiera x,y ∈ X, existe un homeomorfismo h : X → X tal que h(x) = y. Todo grupo topológico es un espacio homogéneo, pero existen espacios homogéneos que no admiten una estructura de grupo topológico, por ejemplo, el cubo de Hilbert. 

Una versión más débil de los grupos topológicos son los espacios con topologías invariantes. Sea (X,τ) un espacio topológico y ∗ una operación de grupo sobre X, entonces τ es una topología ∗-invariante si g∗U ∈ τ, para cualesquiera g ∈ X y U ∈ τ. 

Probaremos que si (X,τ) es numerable, sus elementos se pueden separar por abiertos-cerrados disyuntos y es homogéneo, entonces existe una topología +-invariante ρ sobre Z tal que (X,τ) ≈ (Z,ρ). Esto probaría que τ es invariante para alguna operación de grupo ∗ sobre X. 

Por último, para X = Sω, el espacio de Arhangel’ski ̆ı-Franklin, mostraremos la topología ρ sobre Z para la que Sω ≈ (Z, ρ). 

Expositor: Julián Enrique Neira Díaz.