Sesión 383 (Disco hiperbólico)

 Septiembre 11 de 2023 (Sesión 383)

Disco hiperbólico

Siglos mas tarde de la publicación de los elementos de Euclides (aproximadamente en el 300 A.C.), varios matemáticos se preguntaban si el postulado de las paralelas se puede deducir de los otros cuatro postulados. Entre estos se encontraba el Jesuita G. Saccheri (1667-1733) cuya idea fue suponer que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor que 180◦ e intentar (sin éxito) llegar a una contradicción. Posteriormente J.H. Lambert (1728-1777) obtuvo numerosos resultados geométricos a partir de la negación del quinto postulado, entre estos una versión del hoy conocido como teorema de Gauss-Bonnet [2]. 

con C constante y △H el área del triángulo hiperbólico. Esta fórmula tiene la misma apariencia que el área de un triángulo esférico descubierta por T. Haroit (1560-1621) 

con R el radio de la esfera y △E el área del triángulo esférico. 

Medio siglo más tarde a los hallazgos de Lambert, C.F. Gauss llegó a una aceptación clara de una geometría donde el postulado de las paralelas era falso pero se guardó para sí sus resultados debido a la controversia que pudiera generar. Aproximadamente 30 años después que Gauss empezara a trabajar en la Geometría hiperbólica, esta fue redescubierta de manera independiente por el húngaro J. Bolyai (en 1829) y por N. Lobachevski (en 1826). El primer modelo de la geometría hiperbólica fue presentado por el matemático Húngaro Eugenio Beltrami publicado en 1868 [1]. 

Coloquialmente se conoce como disco de Poincaré (quien lo redescubrió en 1882). El modelo de la geometría hiperbólica por el que Beltrami es conocido es el de la Pseudoesfera que se obtiene al rotar una tractriz respecto a la horizontal. En esta charla presentaré la construcción de la métrica hiperbólica en el disco, una visualización de su grupo de automorfismos y su topología.

Referencias

[1] R. Penrose. El camino a la realidad., Jonathan Cape, London, (2004). 

[2] Geometría Hiperbólica e teoría dos números. Salahoddin Shokranian. UnB(2004).     

Expositor: Edwar Ramírez Ardila