Sesión 384 (Sombreado en Sistemas Dinámicos Inducidos)

Septiembre 18 de 2023 (Sesión 384)

Sombreado en Sistemas Dinámicos Inducidos

Un sistema dinámico discreto es un par $(X,f)$ donde $X$ es un espacio métrico y $f$ una función continua de $X$ en $X$. La órbita de un elemento $z\in X$, que denotaremos por $\mathcal{O}_f(z)$,  es dada por $\mathcal{O}_f(z)=\{z, f(z), f^2(z), \ldots\},$ donde $f^n$ representa $f\circ \cdots\circ f$, $n$-veces, para cada entero positivo $n$. De particular relevancia en el estudio de un sistema dinámico es la noción de sombreado que definiremos a continuación: Dado un $\delta>0$, una $\delta$-pseudo-órbita es una sucesión de puntos $\{x_1,x_2, \ldots\}$ tal que la distancia entre $f(x_i)$ y $x_{i+1}$ es menor que $\delta$ para cada $i\in\mathbb{N}$; se dice que una $\delta$-pseudo-órbita está $\varepsilon$-sombreada, si existe $z\in X$ tal que $\mathcal{O}_f(z)$ está épsilon cercana a la $\delta$-pseudo-órbita, esto es, $d(f^{n}(z),x_n)<\varepsilon$ para cada $n\in\mathbb{N}$; y así, diremos que el sistema dinámico discreto $(X,f)$ tiene la propiedad de sombreado si, para cada $\varepsilon>0$, existe un $\delta>0$, tal que toda $\delta$-pseudo-órbita está $\varepsilon$-sombreada. Por otra parte, dado un sistema dinámico discreto $(X,f)$, inducimos un nuevo sistema dinámico que denotamos por  $(2^X,2^f)$ donde $2^X$ representa la colección de todos los cerrados no vacíos de $X$ que, dotado con la métrica de Hausdorff, es a su vez, un espacio métrico compacto y $2^f\colon 2^X\to 2^X$ es una función continua definida por $2^f(A)=f(A)$, para cada $A\in 2^X$. De manera similar se inducen los sistemas dinámicos $(C(X),C(f))$ y $(F_n(X), F_n(f))$, $n\in\mathbb{N}$, donde $C(X)= \{ A \in 2^X : A \text{ es conexo}\}$ y $F_{n}(X)= \{ A \in 2^X : A \text{ tiene a lo más $n$ elementos}\}$, y las funciones son las restricciones $C(f)=2^f|_{C(X)}$ y $F_n(f)=2^f|_{F_n(X)}$. En esta presentación mostraremos algunos teoremas, ejemplos y preguntas relacionados con la preservación de sombreado entre sistemas dinámicos discretos y sus respectivos sistemas inducidos. 

Expositor: Iohan Daniel Estupiñán