Sesión 388 (El semigrupo de Ellis de un sistema dinámico sobre un espacio métrico compacto)

Octubre 23 de 2023 (Sesión 388)

El semigrupo de Ellis de un sistema dinámico sobre un espacio métrico compacto

Un sistema dinámico es un par $(X,f)$ donde $X$ es un espacio métrico compacto y $f \colon X \to X$ es una función continua. Dado un punto $x \in X$ el conjunto $\{ f^n(x) \colon n \in \N \}$ es la órbita de $x$ denotada como $\orb$. Un punto $x \in X$ es periódico si existe $n \in \N$ tal que $f^n(x) = x$, y su período es $s = \min\{n \in \N \colon f^n(x) = x\}$ . En el año 1960, Robert Ellis, en su artículo titulado ``A Semigroup associated with a transformation group'' (ver [1]) introdujo el semigrupo de Ellis (o Enveloping semigroup) para estudiar propiedades algebraicas de los sistemas dinámicos. Este semigrupo se define como la clausura topológica del conjunto $\{ f^n \colon n \in \N \}$ en el espacio producto $X^X$. 

En esta charla presentaremos una caracterización del semigrupo de Ellis usando $p$-límites donde $p$ es un ultrafiltro sobre $\N$, además, mostraremos algunos resultados encontrados en el artículo [2] acerca de la cardinalidad de este semigrupo. Específicamente nos centramos en los casos cuando el sistema dinámico $(X,f)$ tiene una cantidad infinita de periodos y en el caso donde existe $z \in X$ cuya órbita es densa en $X$. 

Cuando $X = \w^\alpha + 1$ donde $1 \leq \alpha < \w_1$ se puede probar que si existe un $z \in X$ con órbita densa, entonces la órbita de $z$ consiste en todos los puntos aislados de $X$. Basados en esto, veremos como los sistemas dinámicos con órbita densa sobre los espacios $\w + 1$ y $\w^2 + 1$ se construyen en base a una enumeración de $\N$ y $\N \times \N$ respectivamente. Asimismo, plantearemos algunas preguntas relacionadas con la familia de enumeraciones de $\N \times \N$ a las cuales se les puede asociar un sistema dinámico.

Referencias. 

1. R. Ellis. (1960). A Semigroup associated with a transformation group, Transactions of the American Mathematical Society 94.2, págs. 272-281. 

2. García S., Rodríguez Y. y Uzcátegui C. (2018). Cardinality of the Ellis semigroup on compact metric countable spaces, Semigroup Forum 97, págs. 162-17.

   

Expositor: Jhon Freddy Pérez Remolina