Sesión 401 (La importancia del formalismo de Cantor: Inicio de los números transfinitos)

Abril 1 de 2024 (Sesión 401)

La importancia del formalismo de Cantor: Inicio de los números transfinitos

Joseph Fourier es conocido por todos nosotros por sus destacados y notables estudios de la conductividad del calor, habiendo establecido que las funciones pueden ser representadas mediante series trigonométricas con coeficientes de un cierto tipo, y este tipo de series es conocido actualmente como las series de Fourier. Se ha encontrado en la literatura (ver Capítulo 1 de [1]) que, aunque Fourier brindó un rigor superior al estudio de funciones, su trabajo generó más preguntas que las que él estaba interesado o era capaz de contestar. La convergencia de las series trigonométricas puede ser considerada en dos caminos: (a) Para todos los valores $x$ en un dominio continuo de definición. (b) Convergencia solamente en ciertos puntos $x$. El asunto fue estudiado más a profundidad hasta que Riemann se encontró con lo siguiente

$\bullet$ Un ejemplo de una función integrable cuya serie de Fourier no converge.

$\bullet$ Un función $f(x)$ no integrable, pero que tiene infinitos valores, para los cuales la serie \[f(x)=0.5b_0+a_1\sin x+b_1\cos x+a_2\sin 2x+b_2\cos 2x+\cdots\] converge.

Esto generó varias preguntas en Riemann, una muy especial

Pregunta: ¿Dada una función representada por una serie trigonométrica, su representación es única?

Georg Cantor pudo demostrar (ver Teorema 1, Sección 3 de [2]) que la respuesta es afirmativa

Proposición. Si una función de una variable real $f(x)$ está dada por una serie trigonométrica convergente para todo valor de $x$, entonces no existe otra serie de la misma forma la cual converge para todo valor de $x$ y que represente la función $f(x)$.

Estudiando distintos puntos de convergencia de tales funciones, Cantor decidió estudiar a los números irracionales. Es ahí donde comienza la teoría de conjuntos, con los resultados ya conocidos por todos nosotros (ejemplo: hipótesis del continuo), al haber visto un curso de teoría de conjuntos. El objetivo de la charla es hablar un poco (sin ser tan formal), sobre ese proceso histórico desde Fourier hasta Cantor, en la parte analítica, y luego presentar el proceso de no numerabilidad de los números reales y las implicaciones históricas que eso implicó no solo con otros matemáticos, como Kronecker, sino hasta con la Teología; el caso de interés es la recepción recibida de la iglesia católica romana bajo el mando del papa León XIII y como fue interpretada a la luz de su encíclica $Aeterni$ $Patris$, pues hubo un muy buen acogimiento de esa nueva formalización del infinito. Este tema será el punto final de la charla, como está muy bien comentado en la página 96 de [3].

Referencias:

[1] Dauben, Joseph Warren, Georg Cantor: His mathematics and philosophy of the infinite, Princeton University Press, 1990.

[2] Cantor, Georg, {\"U}ber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen, Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 5, 1872, 123-132.

[3] Dauben, Joseph W, Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, theology, and the infinite, Journal of the History of Ideas, 38, 1977, 85-108.

Expositor: Jorge Andrés Rojas