Cada lunes en la sala Lezama del edificio Camilo Torres de la Universidad Industrial de Santander a las 4 de la tarde, un grupo de profesores, estudiantes y amigos, nos reunimos para socializar temas relacionados con la Topología. En este blog se puede encontrar un historial de los trabajos presentados.
Septiembre 2 de 2024 (Sesión 412)
El Teorema de la bola peluda: desde Poicaré, pasando Brouwer y Milnor, hasta nuestros días.
¿Es posible peinar una bola que esté completamente cubierta de pelos?
La idea intuitiva detrás del teorema es bastante antigua, inicia a partir de observaciones sobre la naturaleza. Se puede entender a través de la analogía de una esfera cubierta de pelos: al intentar alisar todos los pelos en una dirección, inevitablemente se formará un "rizo" o "bucle" en al menos un punto, lo que implica que habrá zonas donde no se puede mantener una dirección continua. Formalmente el teorema establece que:
“Cualquier campo de vectores continuo en S2 debe anularse en alguna parte”
Este teorema se debe a Henri Poincaré (1885), quien lo dedujo de su precursor bidimensional del teorema de Poincaré-Hopf, que iguala la suma de los índices del campo vectorial en sus puntos singulares con la característica de Euler.
En 1912 Jan Brouwer hace una generalización para todas las esferas de dimensión par, utiliza el grado de una función entre esferas, definida por medio de grupos de homología:
“Sn tiene un campo vectorial tangente continuo que no se anula en ningún punto si y sólo si n es par”
Es la base para la demostración del Teorema del Punto Fijo de Brouwer.
Jhon Milnor publica una demostración en 1978 completamente diferente a las anteriores. se basa en conceptos básicos de cálculo en varias variables y topología general.
Hay una lista larga de demostraciones del teorema de la bola peluda a lo largo del siglo XX y los inicios del XXI, Boothby, Munkres, Chinn-Steenrod, Eisenberg-Guy, P. McGrath, etc.
Existen múltiples aplicaciones de este teorema en diversas áreas del conocimiento: Meteorología, Computación Gráfica, Optimización, Simulación Numérica, Algoritmos de Rutas, Modelización de Sistemas Dinámicos, Análisis de Datos, Inteligencia Artificial.
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