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Sesión 456 (Grupos Fundamentales y el Teorema de Seifert–van Kampen)

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Abril 13 de 2026 (Sesión 456) Grupos Fundamentales y el Teorema de Seifert–van Kampen La Topología Algebraica es una rama de las matemáticas encargada de estudiar invariantes topológicos que no pueden ser detectados mediante la topología clásica. En esencia, esta disciplina busca abordar problemas en la categoría de espacios topológicos, Top, trasladándolos, a través de un funtor $F$, a otra categoría cuyos objetos poseen estructura algebraica, como grupos, anillos, módulos, espacios vectoriales, etc. Uno de los principales ejemplos de este enfoque es el grupo fundamental, el cual es un funtor que asigna a cada espacio topológico un grupo (no necesariamente abeliano) que constituye un invariante topológico, es decir, que se preserva bajo homeomorfismos. Este objeto es central en la teoría de homotopía, ya que permite detectar y clasificar ciertas formas de deformación continua en los espacios topológicos. Por su parte, el teorema de Seifert–van Kampen es una valiosa herramient...
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Sesión 412 (El Teorema de la bola peluda: desde Poicaré, pasando Brouwer y Milnor, hasta nuestros días.)

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Septiembre 2 de 2024 (Sesión 412) El Teorema de la bola peluda: desde Poicaré, pasando Brouwer y Milnor, hasta nuestros días. ¿Es posible peinar una bola que esté completamente cubierta de pelos? La idea intuitiva detrás del teorema es bastante antigua, inicia a partir de observaciones sobre la naturaleza. Se puede entender a través de la analogía de una esfera cubierta de pelos: al intentar alisar todos los pelos en una dirección, inevitablemente se formará un "rizo" o "bucle" en al menos un punto, lo que implica que habrá zonas donde no se puede mantener una dirección continua. Formalmente el teorema establece que: “Cualquier campo de vectores continuo en S2 debe anularse en alguna parte” Este teorema se debe a Henri Poincaré (1885), quien lo dedujo de su precursor bidimensional del teorema de Poincaré-Hopf, que iguala la suma de los índices del campo vectorial en sus puntos singulares con la característica de Euler. En 1912 Jan Brouwer ha...
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Sesión 411 (About the space of continuous functions with open domain)

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Agosto 26 de 2024 (Sesión 411) About the space of continuous functions with open domain Functions with open domains appear in a variety of contexts in mathematics. Motivated by this phenomenon, M. Allah and R. Brown set out to endow the space of continuous functions with open domains with an appropriate topology. In chronological order, in [1], they define the topology $\tau_{co}$, which turns the inverse semigroup of partial homeomorphisms between open sets into a topological inverse semigroup, called $\Gamma(X)$ for $X$ locally compact Hausdorff space. More recently, in [3], they added open sets after realizing that this topology is not $T_1$, showing that this addition makes $\Gamma(X)$ a Hausdorff topological inverse semigroup. Then, in [2], they show that if $X$ is a compact, Hausdorff, and totally disconnected space, then $(\Gamma(X),\tau_{hco})$ is completely metrizable. In what follows, we will see how to define such a topology, we will see that the space of continuou...
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Sesión 410 (Propiedades del espacio de James)

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Agosto 12 de 2024 (Sesión 410) Propiedades del espacio de James Es ampliamente conocido que todo espacio de Banach reflexivo es isométricamente isomorfo a su doble dual. Sin embargo, a principios del siglo XX, surgió la siguiente conjetura: Si X es un espacio de Banach separable e isométricamente isomorfo a su doble dual, entonces X es reflexivo. En esta charla se hablará del espacio descubierto por Robert James en el año 1951, el cual resuelve la conjetura antes planteada. Además de otras propiedades encontradas en dicho espacio. Expositores: Herson Suárez, Santiago Delgado, Edgar Mantilla y Yeny Moreno.
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Sesión 409 (Familias altas de subconjuntos de N)

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Agosto 5 de 2024 (Sesión 409) Familias altas de subconjuntos de N Un colección H de subconjuntos de N se llama alta si todo subconjunto infinito de N contiene un subconjunto que pertenece a H. El ejemplo motivador de esta noción está relacionado con el Teorema de Ramsey, un resultado de combinatoria infinita que tiene repercusiones en diversas areas de la matematica. En esta charla abordaremos esta temática. Expositor: Carlos Uscátegui Universidad Industrial de Santander. Escuela de Matemáticas.
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Sesión 408 (El teorema de Goodstein)

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Mayo 27 de 2024 (Sesión 408) El Teorema de Goodstein En 1944 Reuben Louis Goodstein definió para cada natural $n$ una sucesión $(n)_k$ de la siguiente manera: a. $(n)_1$ es $n$ escrito en su representación completa base $2$. b. $(n)_2$ es el número que se obtiene sustituyendo en $(n)_1$ cada $2$ por un $3$ y después se le resta $1$. c. $(n)_3$ es el número que se obtiene sustituyendo en $(n)_2$ cada $3$ por un $4$ y después se le resta $1$. d. Se continua recursivamente. Veamos un ejemplo, tomemos $n=21$ y obtenemos la sucesión. a. $(21)_1=21=2^{2^2}+2^2+1$ b. $(21)_2=3^{3^3}+3^3+1-1\sim 7.6\times 10^{12}$ c. $(21)_3=4^{4^4}+4^4 -1=4^{4^4}+4^3\cdot 3 + 4^2\cdot 3 + 4\cdot 3 +3\sim 1.3\times 10^{154}$ d. $(21)_4=5^{5^5}+5^3\cdot 3+5^2\cdot 3+5\cdot 3+2\sim 1.9\times 10^{2184}$ $\vdots$ Goodstein probó que, sin importar el número inicial $n\in\mathbb{N}$, siempre existirá un número $k$ tal que $(n)_k=0$. Este resultado es conocido como el teorema de Goodstein y pe...
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Sesión 407 (Del problema 17 de Hilbert a la optimización semidefinida)

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Mayo 20 de 2024 (Sesión 407) Del problema 17 de Hilbert a la optimización semidefinida Partiendo del 17avo problema planteado por David Hilbert al comienzo del siglo XX, mostraré algunas de las aplicaciones matemáticas que este problema ha inspirado en las últimas décadas. Mencionaré brevemente algunas de las aplicaciones en probabilidad, sistemas dinámicos y teoría de control, estadística y machine learning, teoría de juegos, y ciencia computacional teórica. Profundizaré en las aplicaciones en teoría de grafos. Expositor: José Acevedo
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Sesión 406 (Desarrollo histórico del Teorema del valor medio para derivadas y algunas aplicaciones)

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Mayo 6 de 2024 (Sesión 406) Desarrollo histórico del Teorema del valor medio para derivadas y algunas aplicaciones En esta charla inicialmente mostraremos los trabajos de algunos matemáticos que intentaron trabajar con el teorema del valor medio de Lagrange que conocemos hoy en día en los cursos de cálculo. Después veremos algunas aplicaciones muy conocidas en los cursos de análisis matemático acerca de este valioso teorema, el cual muchos matemáticos consideran no menos importante que el teorema fundamental del cálculo. Bibliografía 1. Smoryński, C. (2017). MVT: A Most Valuable Theorem. New York, NY, USA: Springer. 2. Apostol, T. M. (1991). Calculus, Volume 1. John Wiley & Sons. Expositor: Sergio Andrés Pérez León. Universidad Industrial de Santander. Escuela de Matemáticas.
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