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Sesión 456 (Grupos Fundamentales y el Teorema de Seifert–van Kampen)

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Abril 13 de 2026 (Sesión 456) Grupos Fundamentales y el Teorema de Seifert–van Kampen La Topología Algebraica es una rama de las matemáticas encargada de estudiar invariantes topológicos que no pueden ser detectados mediante la topología clásica. En esencia, esta disciplina busca abordar problemas en la categoría de espacios topológicos, Top, trasladándolos, a través de un funtor $F$, a otra categoría cuyos objetos poseen estructura algebraica, como grupos, anillos, módulos, espacios vectoriales, etc. Uno de los principales ejemplos de este enfoque es el grupo fundamental, el cual es un funtor que asigna a cada espacio topológico un grupo (no necesariamente abeliano) que constituye un invariante topológico, es decir, que se preserva bajo homeomorfismos. Este objeto es central en la teoría de homotopía, ya que permite detectar y clasificar ciertas formas de deformación continua en los espacios topológicos. Por su parte, el teorema de Seifert–van Kampen es una valiosa herramient...
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Sesión 389 (Representación de subsemigrupos de semigrupos polacos.)

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  Octubre 30 de 2023 (Sesión 389) Representación de subsemigrupos de semigrupos polacos Un semigrupo es un conjunto $S$ con una operación asociativa *. Además, decimos que un semigrupo es semigrupo inverso cuando cada elemento tiene un único inverso. Cuando en el semigrupo se define una topología que hace a la operación algebraica continua se dice que el semigrupo es topológico. Dos ejemplos importantes de semigrupos son $X^X$, que consiste de todas las funciones de $X$ en sí mismo, y el semigrupo inverso simétrico $I(X)$ cuyos elementos son todas las biyecciones parciales entre subconjuntos de $X$ donde la operación en cada uno de ellos es la composición. Para el caso $X=\mathbb N$, ambos semigrupos admiten una topología que los hace semigrupos polacos (es decir, una topología métrica, completa y separable que hace a la operación continua). En esta charla hablaremos de ciertos resultados dados recientemente en (Elliott et al., 2023) que dan nociones sobre la representació...
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Sesión 388 (El semigrupo de Ellis de un sistema dinámico sobre un espacio métrico compacto)

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Octubre 23 de 2023 (Sesión 388) El semigrupo de Ellis de un sistema dinámico sobre un espacio métrico compacto Un sistema dinámico es un par $(X,f)$ donde $X$ es un espacio métrico compacto y $f \colon X \to X$ es una función continua. Dado un punto $x \in X$ el conjunto $\{ f^n(x) \colon n \in \N \}$ es la órbita de $x$ denotada como $\orb$. Un punto $x \in X$ es periódico si existe $n \in \N$ tal que $f^n(x) = x$, y su período es $s = \min\{n \in \N \colon f^n(x) = x\}$ . En el año 1960, Robert Ellis, en su artículo titulado ``A Semigroup associated with a transformation group'' (ver [1]) introdujo el semigrupo de Ellis (o Enveloping semigroup) para estudiar propiedades algebraicas de los sistemas dinámicos. Este semigrupo se define como la clausura topológica del conjunto $\{ f^n \colon n \in \N \}$ en el espacio producto $X^X$.  En esta charla presentaremos una caracterización del semigrupo de Ellis usando $p$-límites donde $p$ es un ultrafiltro sobre $\N$, además, mostrare...
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Sesión 387 (Teorema de extensión de operadores lineales acotados y algunas aplicaciones)

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Octubre 9 de 2023 (Sesión 387) Teorema de extensión de operadores lineales acotados y algunas aplicaciones El Teorema de extensión de operadores lineales acotados (BLT- theorem), afirma que todo operador lineal acotado definido de un espacio normado X en un espacio de Banach Y, puede ser extendido a un operador lineal y acotado de manera única cuyo dominio es la adherencia de X. En esta charla probaremos este teorema y daremos algunas aplicaciones del mismo.    Expositor: Sergio Pérez
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Sesión 386 (El teorema de la curva de Jordan en imágenes digitales.)

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Octubre 2 de 2023 (Sesión 386) El Teorema de la curva de Jordan en imágenes digitales El campo de la topología digital se originó en la década de los 70 gracias a los trabajos de Rosenfeld. En su primer trabajo, titulado "Connectivity in digital pictures"[1], Rosenfeld representó a las imágenes digitales como subconjuntos de Z^2, donde cada píxel se visualiza como un punto en el plano. Además, introdujo una noción de conexidad basada en las relaciones de adyacencia entre los píxeles de la imagen. Es importante destacar que esta noción de conexidad difiere de la conexidad topológica convencional, ya que en este contexto no se define una topología. En el trabajo mencionado, Rosenfeld proporcionó un bosquejo de la demostración del teorema de la curva de Jordan aplicado a imágenes digitales.  En los años 1990 Khalimsky Koperman y Meyer introdujeron una topología en Z con el ánimo de dar mayor soporte a la topología digital, cuya base es la siguiente : {n} si n es impar ...
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Sesión 385 (Tonos fundamentales en Geometría)

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  Septiembre 25 de 2023 (Sesión 385) Tonos fundamentales en Geometría. Uno de los principales tópicos en geometría Riemanniana consiste en la búsqueda de relaciones entre la topología de las variedades y las formas como estas se curvan. Es decir, estudiar cómo la estructura topológica influye en las nociones de curvatura definidas en la variedad (por ejemplo: curvatura Seccional, Ricci, escalar, etc.). Sin embargo, a mediados de los años sesenta un nuevo enfoque surgió. Este enfoque propone obtener información sobre la relación entre los valores propios de un operador diferencial y la geometría de la variedad. El resultado modelo en esta dirección se debe a Lichnerowicz y Obata, quienes demostraron que, en variedades de curvatura de Ricci acotada inferiormente, el primer valor propio no nulo del Laplaciano está acotado inferiormente por el correspondiente en la esfera redonda. En esta charla discutiremos este resultado y su relación con algunos problemas en geometría conforme. ...
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Sesión 384 (Sombreado en Sistemas Dinámicos Inducidos)

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Septiembre 18 de 2023 (Sesión 384) Sombreado en Sistemas Dinámicos Inducidos Un sistema dinámico discreto es un par $(X,f)$ donde $X$ es un espacio métrico y $f$ una función continua de $X$ en $X$. La órbita de un elemento $z\in X$, que denotaremos por $\mathcal{O}_f(z)$,  es dada por $\mathcal{O}_f(z)=\{z, f(z), f^2(z), \ldots\},$ donde $f^n$ representa $f\circ \cdots\circ f$, $n$-veces, para cada entero positivo $n$. De particular relevancia en el estudio de un sistema dinámico es la noción de sombreado que definiremos a continuación: Dado un $\delta>0$, una $\delta$-pseudo-órbita es una sucesión de puntos $\{x_1,x_2, \ldots\}$ tal que la distancia entre $f(x_i)$ y $x_{i+1}$ es menor que $\delta$ para cada $i\in\mathbb{N}$; se dice que una $\delta$-pseudo-órbita está $\varepsilon$-sombreada, si existe $z\in X$ tal que $\mathcal{O}_f(z)$ está épsilon cercana a la $\delta$-pseudo-órbita, esto es, $d(f^{n}(z),x_n)<\varepsilon$ para cada $n\in\mathbb{N}$; y así, diremos que el...
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Sesión 383 (Disco hiperbólico)

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  Septiembre 11 de 2023 (Sesión 383) Disco hiperbólico Siglos mas tarde de la publicación de los elementos de Euclides (aproximadamente en el 300 A.C.), varios matemáticos se preguntaban si el postulado de las paralelas se puede deducir de los otros cuatro postulados. Entre estos se encontraba el Jesuita G. Saccheri (1667-1733) cuya idea fue suponer que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor que 180◦ e intentar (sin éxito) llegar a una contradicción. Posteriormente J.H. Lambert (1728-1777) obtuvo numerosos resultados geométricos a partir de la negación del quinto postulado, entre estos una versión del hoy conocido como teorema de Gauss-Bonnet [2].  con C constante y △H el área del triángulo hiperbólico. Esta fórmula tiene la misma apariencia que el área de un triángulo esférico descubierta por T. Haroit (1560-1621)  con R el radio de la esfera y △E el área del triángulo esférico.  Medio siglo más tarde a los hallazgos de Lambert, C.F. Gauss llegó a ...
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