Seminario de Topología "Rafael Isaacs"

Entradas

Sesión 456 (Grupos Fundamentales y el Teorema de Seifert–van Kampen)

- abril 10, 2026

Abril 13 de 2026 (Sesión 456) Grupos Fundamentales y el Teorema de Seifert–van Kampen La Topología Algebraica es una rama de las matemáticas encargada de estudiar invariantes topológicos que no pueden ser detectados mediante la topología clásica. En esencia, esta disciplina busca abordar problemas en la categoría de espacios topológicos, Top, trasladándolos, a través de un funtor $F$, a otra categoría cuyos objetos poseen estructura algebraica, como grupos, anillos, módulos, espacios vectoriales, etc. Uno de los principales ejemplos de este enfoque es el grupo fundamental, el cual es un funtor que asigna a cada espacio topológico un grupo (no necesariamente abeliano) que constituye un invariante topológico, es decir, que se preserva bajo homeomorfismos. Este objeto es central en la teoría de homotopía, ya que permite detectar y clasificar ciertas formas de deformación continua en los espacios topológicos. Por su parte, el teorema de Seifert–van Kampen es una valiosa herramient...

Sesión 455 (Intersecciones de ideales maximales)

- marzo 13, 2026

Marzo 16 de 2026 (Sesión 455) Intersecciones de ideales maximales. Ver archivo acá . Expositor: Camilo Andrés Acevedo Ardila Universidad Industrial de Santander

Sesión 454 (Sobre cerrados hereditarios y fracciones egipcias)

- marzo 05, 2026

Marzo 9 de 2026 (Sesión 454) Sobre cerrados hereditarios y fracciones egipcias. A todo cerrado hereditario $\mathcal{G}$ del espacio de Cantor se le puede asociar el espacio de sus elementos maximales $\mathcal{G}^{max}$, ordenado por inclusión. Este espacio posee interesantes propiedades descriptivas. En particular, $\mathcal{G}^{max}$, dotado de la topología producto, es un subconjunto $G_{\delta}$; además, equipado con la topología de Sierpiński, permite representar a todos los espacios compactos, $T_1$ y segundo numerables. En esta charla estudiaremos la compacidad local de estos espacios y presentaremos algunos resultados interesantes relacionados con fracciones egipcias. Expositor: Jeison Amorocho Universidad Industrial de Santander

Sesión 453 (C-representación de ideales en espacios de Banach)

- febrero 21, 2026

Febrero 23 de 2026 (Sesión 453) C-representación de ideales en espacios de Banach. Un ideal es un sobconjunto de P(N) que describe la propiedad de ser pequeño. En 1999, Solecki caracterizó los P-ideales analíticos a través de submedidas semicontinuas inferiormente. Análogamente, ciertos ideales pueden ser representados en espacios de Banach. Mostraremos su caracterización dada por Borodulin, el ejemplo para Z (el ideal de densidad 0) y un ideal que no es representable. Por último, veremos la representación de ideales específicamente en c0. Expositor: Julian Neira Universidad Industrial de Santander

Sesión 452 (Funciones no necesariamente continuas que preservan conexidad)

- febrero 12, 2026

Febrero 16 de 2026 (Sesión 452) Funciones no necesariamente continuas que preservan conexidad. Uno de los teoremas más importantes en topología que involucra las funciones continuas es el Teorema del punto fijo de Brouwer. Este teorema nos dice que si tenemos una función continua sobre una n-celda, entonces existe un punto que es igual a su imagen. En 1959,Stallings muestra una clase de funciones que no son necesariamente continuas que satisfacen el teorema de Brouwer. Esta clase de Funciones Stallings las llamó funciones de conectividad. El resultado de Stallings motivó a definir otras clases de funciones estrictamente más amplias que la clase de funciones continuas como: funciones de Darboux, funciones conexas, funciones de conectividad local y funciones casicontinuas. Estas clases de funciones definidas por diversos autores han sido objeto de estudio en muchas investigaciones. En esta charla estudiaremos las relaciones que existen entre estas clases de funciones. B...

Sesión 451 (El operador de Dirac en geometría)

- febrero 08, 2026

Febrero 9 de 2026 (Sesión 451) El operador de Dirac en geometría. Hace aproximadamente 100 años (1928) el físico Paul Dirac inventó un operador diferencial (conocido hoy como operador de Dirac) como una raíz cuadrada del operador de D’Alembert (u operador de ondas). Dirac con esto logró dar una descripción cuántica de los electrones a partir de los avances recientes de la Teoría de la Relatividad Especial. A pesar de la importancia de este operador en el contexto físico no fue sino hasta 1962 que se pudo definir globalmente en una variedad Riemanniana. En esta charla discutiremos las propiedades básicas de este operador y su conexión con algunos problemas actuales en geometría. Expositor: Jurgen Julio Batalla Universidad Industrial de Santander Presentación

Sesión 450 (Propiedades de la Función T de Jones)

- noviembre 20, 2025

Noviembre 24 de 2025 (Sesión 450) Propiedades de la Función T de Jones. Recordaremos las principales propiedades de la Función T de Jones y presentaremos una aplicación. Expositor: Sergio Macías Universidad Nacional Autónoma de México Instituto de Matemáticas

Sesión 449 (Representación de ideales analíticos)

- noviembre 08, 2025

Noviembre 10 de 2025 (Sesión 449) Representación de ideales analíticos. Un ideal I en N es una familia cerrada bajo uniones finitas y subconjuntos. En particular, son de interés aquellos ideales que pueden describirse a través de una submedida semicontinua inferiormente en representaciones como Fin(phi) o Exh(phi). En los años 90, Mazur y Solecki caracterizaron los ideales F_sigma y los P-ideales analíticos a través de este tipo de submedidas. Se presentarán las generalidades de estas representaciones y algunos ejemplos ilustrativos. En particular, para el ideal de densidad cero, Z, se mostrará la submedida phi para la cual Z=Exh(phi). Expositor: Julián Neira Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas.

Sesión 448 (Algunos aspectos teóricos del espacio C[0,1])

- octubre 23, 2025

Octubre 27 de 2025 (Sesión 448) Algunos aspectos teóricos del espacio C[0,1]. El estudio del espacio C[a,b], con la norma del supremo, permite comprender propiedades fundamentales del análisis funcional. En este contexto, se hablará sobre los subespacios de funciones diferenciables, mostrando que 𝐶^(1)[0,1] no es un espacio de Banach y que el operador derivada, aunque posee gráfica cerrada, no es acotado. Se analizará además las relaciones entre diferentes normas y su conexión con la dimensión finita de los subespacios. Finalmente, se caracterizará el dual de C[0,1] a través del teorema de Riesz, estableciendo que todo funcional lineal y continuo puede representarse como una integral de Riemann–Stieltjes respecto a una función de variación acotada. Expositora: Nykoll García Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas.

Sesión 447 (Existencia de sistemas dinámicos numerables con órbita densa)

- octubre 02, 2025

Octubre 6 de 2025 (Sesión 447) Existencia de sistemas dinámicos numerables con órbita densa Un sistema dinámico es un par (X,f) donde X es métrico compacto y f:X \to X una función continua. Dado x en X, se define la órbita de x bajo f como el conjunto O_f(x) = { x, f(x), f(f(x)), ...} . Es natural preguntarse lo siguiente: fijado X métrico compacto ¿existe una función continua f tal que el sistema dinámico (X,f) tiene una órbita densa?, es decir, ¿existe una función continua f y un punto z cuya órbita bajo f es densa en X? Por el momento no tenemos una respuesta para la pregunta anterior. Sin embargo, cuando X es numerable la respuesta es afirmativa, es decir, se puede construir una función f tal que (X,f) tenga una órbita densa. El objetivo de esta charla es presentar un bosquejo de dicha construcción. Expositor: Jhon Freddy Pérez Remolina Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas.

Sesión 446 (Sensibilidad)

- septiembre 25, 2025

Septiembre 29 de 2025 (Sesión 446) Sensibilidad Dado un espacio métrico compacto X con métrica d, y una función continua f, definida sobre X, diremos que f es sensible ó sensible a las condiciones iniciales si existe e>0 tal que para todo x en X y r>0, existen y en X donde d(x,y) es menor a r y un entero positivo m, tales que d(f^m(x),f^m(y) es mayor a e. Mostraremos algunas formas de generalizar este concepto usando funciones multivaluadas. Algunos de los resultados que se mostrarán hacen parte de un trabajo conjunto con Jeison Amorocho y Sergio Macías. Expositor: Javier Camargo Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas. Presentación.

Sesión 445 (C(K) y K)

- septiembre 23, 2025

Septiembre 22 de 2025 (Sesión 445) C(K) y K. Si K es un compacto Hausdorff, C(K) es el espacio de funciones continuas definidas en K y de valor escalar. El objetivo de la charla es discutir la interacción entre las propiedades topológicas de K y las propiedades analíticas de C(K). Expositor: Michael Rincón Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas. Presentación.

Sesión 444 (Francis Bacon y la Revolución Científica)

- septiembre 12, 2025

Septiembre 15 de 2025 (Sesión 444) Francis Bacon y la Revolución Científica. Expositor: Bernardo Mayorga Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas.

Sesión 443 (Espacios CTS y la propiedad fuerte de Choquet)

- septiembre 05, 2025

Septiembre 8 de 2025 (Sesión 443) Espacios CTS y la propiedad fuerte de Choquet. Decimos que un espacio topológico $X$ es \textit{CTS} si es compacto, $T_1$ y segundo numerable. En esta charla estudiaremos la relación entre los espacios \textit{CTS} y la propiedad fuerte de Choquet, lo cual permite analizar su representación mediante espacios posets. En particular, Mummert y Stephan (2010) demostraron que un espacio $X$ es homeomorfo a un espacio \textit{MF} de base numerable si y solo si es segundo numerable, $T_1$ y posee la propiedad fuerte de Choquet. Por otra parte, Morayne y Rałowski (2023) caracterizaron a los \textit{CTS} que son espacios de Baire. Inicialmente pensábamos que todo \textit{CTS} Baire tendría la propiedad fuerte de Choquet; sin embargo, mostramos que un \textit{CTS} es de Baire si y solo si es de Choquet. Además, construimos un ejemplo de un espacio de Baire que no posee la propiedad fuerte de Choquet. En este seminario discutirem...

Sesión 442 (Isometrías en espacios de sucesiones)

- agosto 29, 2025

Septiembre 1 de 2025 (Sesión 442) Isometrías en espacios de sucesiones. Los espacios de Banach de sucesiones son espacios cuyos elementos pueden representarse mediante sucesiones de escalares utilizando un sistema de coordenadas dado por una base de Schauder. Denotamos por Isom(X) el grupo de isometrías sobreyectivas de X. En este seminario, analizaremos la caracterización del grupo Isom(X) para algunos espacios de Banach de sucesiones, presentando importantes resultados históricos del análisis funcional para espacios clásicos y comentando resultados recientes en la literatura. Expositor: Victor dos Santos Ronchim Universidad Estadual Paulista. Notas.

Sesión 441 (Bicategorías de Tangles y la Cohomología de Khovanov)

- agosto 20, 2025

Agosto 25 de 2025 (Sesión 441) Bicategorías de Tangles y la Cohomología de Khovanov. Una de las principales áreas de investigación es el estudio de los invariantes topológicos. Los invariantes topológicos son objetos matemáticos que se conservan bajo homeomorfismos. Un invariante topológico puede ser un número, un polinomio, una estructura algebraica o alguna propiedad como compacidad, conexidad o las propiedades de separación. Mikhail Khovanov desarrolló la teoría homológica para nudos y enlaces con el fin de construír invariantes topológicos en cuatro dimensiones usando Álgebra Cuántica, que es el álgebra que está inspirada en la Mecánica Estadística Cuántica y en la Teoría de Campos Cuánticos de la Física. Uno de los resultados fundamentales en el Álgebra Cuántica es que el polinomio de Jones está relacionado con los Grupos Cuánticos, los cuales son analogías cuánticas de grupos de Lie cuyas coordenadas satisfacen el principio de incertidumbre de Heisenberg. La homologí...

Sesión 440 (Sobre la complejidad de la relación de conjugación topológica en sistemas dinámicos)

- agosto 08, 2025

Agosto 11 de 2025 (Sesión 440) Sobre la complejidad de la relación de conjugación topológica en sistemas dinámicos. Un sistema dinámico es un par $(X,f)$ donde $X$ (llamado espacio de fase) es un espacio métrico compacto y $f: X \to X$ continua. Decimos que dos sistemas dinámicos $(X,f)$ y $(X,g)$ son (topológicamente) conjugados, si existe un homeomorfismo $\varphi$, tal que $\varphi circ f = g \circ \varphi$. La conjugación topológica genera una relación de equivalencia sobre $C(X,X)$, el espacio de las funciones continuas de $X$ en si mismo. Preguntas naturales que surgen acerca de esta relación están: ¿Cuántas clases de equivalencia existen? ¿La relación de conjugación, vista como subconjunto de $C(X,X)^2$, es boreliana? La Teoría Descriptiva de Conjuntos proporciona herramientas para estudiar y clasificar relaciones de equivalencia definidas sobre espacios polacos (espacios completamente metrizable y segundo numerables). La noción central en esta clasificación es ...

Sesión 439 (Propiedad de Schur, secuencialidad débilmente completa y reflexividad)

- julio 31, 2025

Agosto 4 de 2025 (Sesión 439) Propiedad de Schur, secuencialidad débilmente completa y reflexividad. En el año 1921 el matemático Ruso Issai Schur (1875-1941) definió la propiedad de Schur. Un espacio de Banach tiene la propiedad de Schur si la convergencia en la topología débil y en la topología fuerte son equivalentes. Los conceptos de reflexividad y secuencialidad débilmente completa en espacios de Banach, fueron estudiados contemporáneamente por varios matemáticos, entre los cuales se destacan: Rosenthal, Eberlein, Smulian, Robert James, entre otros. En esta charla analizaremos la relación existente entre estos tres conceptos, mostrando que implicaciones se tienen y cuales no se tienen. Bibliografía J. Diestel. Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, NewYork, 1984. 2. J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Classical Banach Spaces I and II. Springer, New York, 1996. Expositor: Sergio Andrés Pérez León. Universidad Industrial de Santander. Escue...

Sesión 438 (Zero modes para el operador de Dirac)

- julio 26, 2025

Julio 28 de 2025 (Sesión 438) Zero modes para el operador de Dirac. En 1926 se introdujo la ecuación de Schrödinger como herramienta para resolver el problema de estabilidad de un átomo, es decir, el problema de finitud de energía de su estado fundamental. Este problema es más complejo cuando se considera la interacción del átomo con un campo magnético. En este escenario resulta crucial la naturaleza espinorial que tienen los electrones. A mediados de la década de los ochenta J. Fröhlich, E. Lieb y M. Loss descubrieron que este problema es inestable si existe una solución no trivial de una ecuación conocida hoy en día como ”zero mode”. Recientemente R. Frank y M. Loss (Which magnetic fields support a zero mode? Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2022) establecieron estimaciones en el tamaño de los campos magnéticos para garantizar la ausencia de zero modes. El objetivo de esta charla será discutir algunos aspectos geométricos de esta ecuació...

Sesión 437 (La correspondencia KPT)

- julio 18, 2025

Julio 21 de 2025 (Sesión 437) La correspondencia KPT. En 2005, A. Kechris, V. Pestov y S. Todorcevic publicaron un trabajo titulado Fraïssé limits, Ramsey theory, and topological dynamics of automorphism groups, donde establecieron una profunda conexión entre tres áreas matemáticas: 1. La teoría de modelos finitos (vía límites de Fraïssé) 2. La teoría de Ramsey estructural 3. La dinámica topológica de grupos de automorfismos. En esta charla hablaré de algunas de las ideas y conceptos involucrados en ese trabajo. Expositor: Carlos Uzcátegui. Universidad Industrial de Santander. Escuela de Matemáticas. Presentación.